| Abstract : | A nonnegative variable X is said to follow a power law distribution if Pr[X ≥ x] ~ c x-α for constants c>0 and α>0. This work presents the mathematical statistics that are involved in the theoretical development of power law distributions. In addition, from the plethora of applications that appear in social science research, some striking examples are presented in the Introduction section, aiming to demonstrate the usefulness and the special interest that that exists for such distribution. In the second chapter, the formula derivation of moments and other related quantities is developed and some unique properties, such as, the ‘no finite mean and variance’ and the ‘scale free’ character of power laws are discussed. The third chapter is devoted to the analysis of possible mechanisms that generate power law distributions. These are shown to be either simple algebraic methods or more complicated mechanism that are associated with the nature of the system under examination. These could be random walks, Yule processes, phase transitions/critical phenomena and self-organized criticality (SOC). The later, has been proved to be of a great importance, since it is a property of complex dynamical systems and the emergence of power laws provides important information about phenomena. Interestingly, as research has shown, in social/man-made systems power laws seem to be ubiquitous. The fourth chapter is devoted to statistical methods developed for fitting power law distributions in empirical data. The Ordinary Least Square method is examined and compared with Maxim Likelihood Method for both continuous and discrete data. Problems and advantages are discussed. Finally, the methodological steps followed in testing the Power-Law Hypotheses are analysed. These aim to obtain a satisfied goodness of fit for power laws, but on the other hand to exclude the competing distributions. Moreover model-comparison methods are presented.
Μια μη αρνητική μεταβλητή X ακολουθεί κατανομή αντιστρόφου δύναμης όταν η πιθανότητα Pr[X ≥ x] ~ c x-α , με τις σταθερές c>0 and α>0. Στην παρούσα εργασία παρουσιάζεται το μαθηματικό μέρος της στατιστικής, στο οποίο στηρίζεται η θεωρητική ανάπτυξη της κατανομής αντιστρόφου δύναμης. Επιπλέον στην εισαγωγή δίδεται μια μικρή παρουσίαση από την πληθώρα των εφαρμογών που εμφανίζονται στη σύγχρονη βιβλιογραφία των κοινωνικών επιστημών, με στόχο την ανάδειξη της χρησιμότητας και του ειδικού ενδιαφέροντος που παρουσιάζει η κατανομή αντιστρόφου δύναμης. Στο δεύτερο κεφάλαιο παρουσιάζεται το μαθηματικό μέρος και οι αποδείξεις των αντιστοίχων σχέσεων για τις ροπές και άλλων σχετικών μεγεθών. Εδώ αναδεικνύονται κάποιες ενδιαφέρουσες ιδιότητες της κατανομής αυτής, όπως η μη-πεπερασμένη τιμή του μέσου και της διακύμανσης κάτω από συγκεκριμένες συνθήκες, καθώς και η μοναδική ιδιότητα της ανεξαρτησίας κλίμακας. Στο τρίτο κεφάλαιο αναπτύσσονται οι πιθανοί μηχανισμοί που παράγουν μεταβλητές με κατανομή αντιστρόφου δύναμης. Αυτοί μπορεί να είναι είτε απλές αλγεβρικές μέθοδοι είτε περισσότερο πολύπλοκοι μηχανισμοί που σχετίζονται με την φύση του συστήματος που παράγει τα δεδομένα. Τέτοιοι μηχανισμοί είναι οι τυχαίοι περίπατοι (random walks), διαδικασίες Yule, κρίσιμα φαινόμενα/ αλλαγές φάσεων (phase transitions/ critical phenomena) και η αυτό-οργανούμενη κρισιμότητα (self-organized criticality, SOC). Η SOC αποτελεί ένα σημαντικό φαινόμενο γιατί είναι χαρακτηριστικό των πολυπλόκων δυναμικών συστημάτων, όπου η εμφάνιση ανεξαρτήτου-κλίμακας κατανομών δίδει πληροφορίες για την κατάσταση και την δυναμική των συστημάτων που εξετάζονται. Είναι δε εξαιρετικά ενδιαφέρον ότι η κατανομή αντιστρόφου δύναμης είναι παρούσα σε πολλά φαινόμενα των κοινωνικών / ανθρωπίνων συστημάτων.Στο τέταρτο κεφαλαίο αφιερώνεται στις στατιστικές μεθόδους που χρησιμοποιούνται για την προσαρμογή εμπειρικών δεδομένων στο μοντέλο της κατανομής αυτής. Εξετάζονται και συγκρίνονται η μέθοδος των Ελαχίστων Τετραγώνων και η μέθοδος Μεγίστης Πιθονοφάνειας. Τέλος, αναλύεται η βασική Μεθοδολογία που μπορεί να ακολουθηθεί για τον Έλεγχο Στατιστικών Υποθέσεων που συνδέουν την κατανομή αντιστρόφου δύναμης με ερευνητικά δεδομένα.
|
|---|
Copyright © 2013 Library AUEB. All rights reserved.