| Abstract : | Stochastic differential equation (SDE) models play a prominent role in a range of applications, including biology, chemistry, mechanics, economics and finance. In the last few years, financial quantitative analysts have used more sophisticated mathematical concepts, such as martingales or stochastic integration, in order to describe the behavior of markets or to derive computing methods.Since 1972 and the appearance of the famous Black and Scholes option pricing formula, derivatives have become an integrated part of everyday life in the financial industry. Options and derivatives are tools to control risk exposure and used in the strategies of investors speculating in markets like fixed-income, stocks, currencies, commodities and energy. A combination of mathematical and economical reasoning is used to find the price of derivative contracts.This thesis is concerned with the applications of simple numerical methods for SDEs, and focuses on concepts such as convergence and linear stability from a practical viewpoint, as well as on their application to the valuation of derivatives and especially Asian options.In the first chapter we introduce the concepts of Brownian motion, the Karhunen-Loeve expansion, sampled random walks and saw how to compute discretized Brownian paths. In the next chapter we introduce SDEs and we describe how the Euler-Maruyama method can be used to simulate an SDE. We introduce the concepts of strong and weak convergence and verify numerically that Euler-Maruyama converges with strong order ½ and weak order 1. We also look at Milstein’s method, which adds a correction to Euler-Maruyama in order to achieve strong order 1 and we introduce two distinct types of linear stability for the Euler-Maruyama method.In chapter 3 we introduce basic concepts on the valuation of derivatives in discrete time and in continuous time. We also discuss the valuation of arithmetic average Asian options. It is observed that the Asian option is a special case of the option on a traded account. The price of the Asian option is characterized by a simple partial differential equation which could be applied to both continuous and discrete average Asian options. In other words the pricing is based on the Black-Scholes PDE-model and the resulting PDEs are of parabolic type.The Monte Carlo approach has proved to be a valuable and flexible computational tool in modern finance. In chapter 4 we introduce the Monte Carlo method to security pricing problems, we review some variance reduction methods and apply the Monte Carlo method to the valuation of European and Asian options.
Τα μοντέλα στοχαστικών διαφορικών εξισώσεων (SDE) διαδραματίζουν ουσιαστικό ρόλο σε μια σειρά εφαρμογών, συμπεριλαμβανομένων της βιολογίας, της χημείας, της μηχανικής και των χρηματοοικονομικών. Τα τελευταία χρόνια, οι οικονομικοί αναλυτές έχουν χρησιμοποιήσει πιο πολύπλοκες μαθηματικές έννοιες, όπως Martingales ή στοχαστική ολοκλήρωση, προκειμένου να περιγράψουν τη συμπεριφορά των αγορών ή για να αποκομίσουν υπολογιστικές μεθόδους. Από το 1972 και την εμφάνιση του διάσημου τύπου Black –Scholes δικαιωμάτων προαίρεσης , τα παράγωγα προϊόντα έχουν γίνει αναπόσπαστο τμήμα της καθημερινής ζωής στον χρηματοπιστωτικό κλάδο. Τα δικαιώματα προαίρεσης και τα παράγωγα είναι εργαλεία για τον έλεγχο κινδύνου και χρησιμοποιούνται στις στρατηγικές των επενδυτών που «δρουν» στις αγορές, όπως είναι αγορές σταθερού εισοδήματος, τα αποθέματα, αγορές νομισμάτων, εμπορευμάτων και ενέργειας. Για τον καθορισμό της τιμής των παράγωγων συμβολαίων χρησιμοποιείται ένας συνδυασμός μαθηματικών και οικονομικών συλλογισμών.Αυτή η διατριβή ασχολείται με τις εφαρμογές των απλών αριθμητικών μεθόδων στις SDEs, και επικεντρώνεται σε έννοιες, όπως η σύγκλιση και η γραμμική σταθερότητα, βλέποντας τες από πρακτική σκοπιά, καθώς και στην εφαρμογή τους για τηναποτίμηση των παραγώγων και ειδικά των Ασιατικών .Στο πρώτο κεφάλαιο, εισάγουμε τις έννοιες της κίνησης Brown, την Karhunen-Loeve επέκταση, τους τυχαίους περιπάτους και δείχνουμε πως υπολογίζονται τα διακριτά μονοπάτια Brown. Στο επόμενο κεφάλαιο, εισάγουμε τις SDEs και περιγράφουμε πώς η Euler-Maruyama μέθοδος μπορεί να χρησιμοποιηθεί για την προσομοίωση μιας SDE. Εισάγουμε τις έννοιες της ισχυρής και ασθενούς σύγκλισης και επαληθεύουμε αριθμητικά ότι η Euler-Maruyama συγκλίνει με τάξη ισχυρής σύγκλισης ½ και τάξη ασθενούς σύγκλισης 1.Εξετάζουμε επίσης τη μέθοδο Milstein , η οποία βελτιώνει την Euler-Maruyama επιτυγχάνοντας ισχυρή σύγκλιση τάξεως 1 και εισάγουμε δύο διαφορετικούς τύπουςγραμμικής σταθερότητας για την Euler-Maruyama μέθοδο. Στο κεφάλαιο 3 εισάγουμε τις βασικές έννοιες της αποτίμησης των παραγώγων σε διακριτό και σε συνεχή χρόνο. Πραγματευόμαστε επίσης την αποτίμηση των αριθμητικών μέσων των Ασιατικών δικαιωμάτων προαίρεσης (arithmetic average Asian options). Έχει παρατηρηθεί ότι τα Ασιατικά δικαιώματα προαίρεσης είναι μια ειδική περίπτωση, δικαιωμάτων σε traded account. Η τιμή των Ασιατικών δικαιωμάτων εκφράζεται από μια μερική διαφορική εξίσωση που μπορεί να εφαρμοστεί και στους συνεχείς αλλά και στους διακριτούς μέσους Ασιατικών δικαιωμάτων προαίρεσης (average Asian options). Με άλλα λόγια η τιμολόγηση είναι βασισμένη στο Black-Scholes PDE μοντέλο και οι PDEs που προκύπτουν είναι παραβολικού τύπου. VIIΗ Μόντε Κάρλο προσέγγιση έχει αποδειχθεί ότι αποτελεί ένα πολύτιμο και ευέλικτο εργαλείο στα σύγχρονα χρηματοοικονομικά. Στο κεφάλαιο 4 εισάγουμε τη μέθοδο Monte Carlo για την επίλυση προβλημάτων ασφαλούς τιμολόγησης(security pricing problems), παρουσιάζουμε ορισμένες μεθόδους μείωσης διασποράς και εφαρμόζουμε την μέθοδο Monte Carlo για την αποτίμηση των ευρωπαϊκών και ασιατικών δικαιωμάτων.
|
|---|
Copyright © 2013 Library AUEB. All rights reserved.